Mander约束混凝土本构

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1 从一个试验说起

图1 约束混凝土试验配箍形式（Moehle & Cavanagh）

图2 约束混凝土试验结果（Moehle & Cavanagh）

由上图可知，素混凝土试件在纵向压应变达到 0.003时达到峰值强度，然后强度迅速退化，并最终出现斜截面剪坏导致柱失效，这是一种脆性破坏模式。而我们所期望的延性破坏模式是，当纵向应变达到 0.003 时，箍筋出现屈服，而当纵向应变达到0.004时，保护层混凝土剥落，然后强度出现缓慢退化。随着纵向应变的逐渐增加，A柱和B柱在损失了部分强度后又出现了强化，然后再缓慢地退化，而C柱则是直线退化。当B柱环向箍筋屈服，纵筋出现屈曲，部分角部弯钩被拉直，B柱出现失效。

对比素混凝土柱，箍筋对核心区混凝土起到了很好的约束作用，其增强了核心区混凝土的变形能力。仅配置有外圈箍筋的C柱，其变形能力得到了改善，但不如A柱和B柱，配有交叉或重叠的箍筋可以增强约束混凝土的强度。

除了钢筋混凝土柱之外，剪力墙的边缘构件或端柱也是配置有闭合的箍筋，而组合结构构件及钢管混凝土作用，型钢对其所包裹的混凝土也是有较大的约束作用，当然这里主要说的常规钢筋混凝土构件。说起剪力墙边缘构件的重要性，得说说2010年的智利剪力墙结构震害。智利使用的地震设计方法与我们相似，都是采用的反应谱法。针对1985年3月3日发生在南美洲和纳斯卡板块交界俯冲带的7.8级地震，1996年智利的设计谱进行了修订。钢筋混凝土剪力墙建筑的设计要求也进行了更新，参考了ACI318-95，但也有个规定例外的，就是墙边缘构件的约束混凝土及约束钢筋屈曲的加密箍筋被取消。

2010年智利地震中，钢筋混凝土剪力墙建筑（墙率大概为3%左右，一字型、L型墙或T型墙组合形成）主要损坏主要出现在地面或接近地面的部位，可以看到混凝土的破碎和剥落以及竖向钢筋的屈曲。像这种贯穿整个剪力墙或者集中在1~3倍墙厚的高度的损伤，显然是因为垂直钢筋屈曲导致的。

图3 2010年智利地震典型剪力墙震害1 （Leonardo M. Massone）

图4 钢筋的破坏形态（Leonardo M. Massone）

震害中发现墙体边缘构件的箍筋间距偏大，边缘箍筋和水平分布筋间距均为200mm。由于这些剪力墙均较薄，为150mm~200mm厚度，而保护层20mm，剥落则会导致墙体的有效厚度减小10%-27%。而一旦保护层剥落，则剪力墙边缘构件的直钩箍筋被拉直后失去约束作用，这样竖向钢筋失去约束后就会发生屈曲。

当然有些也是由于轴向压力较大导致墙体出现整体屈曲，如下图所示，也就是墙体的整体失稳。这种失稳，加强箍筋配置不能解决问题，最好是加厚墙体。这种与上面的情况有所不同。

图5 2010年智利地震典型剪力墙震害2 （Leonardo M. Massone）

看来箍筋的约束效应很重要，那么非线性计算时，如何考虑约束混凝土本构显得尤为重要，而其中以Mander约束混凝土本构最为流行。

2 Mander本构

说到这，还真不知道Mander本构是如何流行起来的，但大概是因为他的论文被大量学者引用，而工程中常用的截面分析软件XTRACT内置的约束材料本构也是默认采用Mander本构。一位菲律宾的朋友也说，他更倾向于使用Mander本构进行非线性分析。Mander那篇非常有名的论文详细介绍了Mander本构曲线，见下图。

图6 Mander本构曲线受压段（J.B.Mander）

$f_{c}=\frac{f_{c c}^{\prime} x r}{r-1+x^{r}}$ （1）
$f_{c c}^{\prime}$

是约束混凝土峰值强度，是Mander本构模型的关键。 $k_{1}$ 是约束混凝土峰值强度，是Mander本构模型的关键。 $k_{1}$

$f_{c c}^{\prime}=f_{c o}^{\prime}+k_{1}f_{l}$ （2）

$x=\frac{\varepsilon_{c c}}{\varepsilon_c}$ （3）

式中， $\varepsilon_{c c}$ 是峰值强度对应的混凝土压应变。

$\varepsilon_{c c}=\varepsilon_{c o}\left[1+5\left(\frac{f_{c c}^{\prime}}{f_{c o}^{\prime}}-1\right)\right]$ （4）

式中， $f_{c o}^{\prime}$ 和 $\varepsilon_{c o}$ 分别是非约束混凝土的峰值强度和其对应压应变， $\varepsilon_{c o}$ 一般取0.002。

$r=\frac{E_{c}}{E_{c}-E_{\mathrm{sec}}}$ （5）

其中， $E_{c}=5,000 \sqrt{f_{c o}^{\prime}} \mathrm{MPa}$ 。

$E_{s e c}=\frac{f_{c c}^{\prime}}{\varepsilon_{c c}}$ （6）

Mander本构引入了有效约束应力和有效约束系数这两个概念。注意此处的强度均指美规的混凝土圆柱体强度。对于矩形截面需要查表确定有效约束系数。

图7 改进后Mander本构曲线（G.A. Chang & J.B. Mander）

图8 圆形和矩形钢筋混凝土柱约束机理（G.A. Chang & J.B. Mander）

图9 矩形钢筋混凝土柱核心区混凝土拱效应三维示意图 (Jack Moehle)

G.A. Chang 改进了Mander本构，使得Mander本构的有效约束系数$$k_e$$可以由公式求得。箍筋的约束作用并不是均匀施加到核心区混凝土上的，而是产生了拱效应，使得核心区外围部分压应力较小，而中间区域较大。

对于圆形截面按下面公式可以求得：

f_{l}=\frac{1}{2}k_{e}\rho_{s}{f_{s}}

$k_{e}=\frac{A_{e}}{A_{c c}}$

$A_{e}=\frac{\pi d_{s}^{2}}{4}\left(1-0.5 \frac{s^{\prime}}{d_{s}}\right)^{k}$

核心区混凝土面积 $A_{c c}=\left(1-\rho_{c c}\right) \frac{\pi d_{s}^{2}}{4}$

式中， $f_{l}$ 为有效侧向约束应力。

f_{l}=\frac{\rho_{s} f_{s}}{2} \frac{\left(1-0.5 \frac{s^{\prime}}{d_{s}}\right)^{k}}{1-\rho_{c c}}

式中，体积配筋率 $\rho_{s}=\frac{4 A_{s h}}{s d_{s}}$ ,纵筋体积配筋率 $\rho_{c c}=\frac{A_{s t}}{\pi d_{s}^{2}}$ 。

矩形截面的有效约束系数可以通过以下经验公式求得，而不需要查表。

K=\frac{f_{c c}^{\prime}}{f_{c}^{\prime}}=1+A \bar{x}\left(0.1+\frac{0.9}{1+B \bar{x}}\right)

$\bar{x}=\frac{f_{l 1}^{\prime}+f_{l 2}^{\prime}}{2 f_{c}^{\prime}}$

$r=\frac{f_{l 1}^{\prime}}{f_{l 2}^{\prime}} \quad f_{l 2}^{\prime} \geq f_{l 1}^{\prime}$

$A=6.8886-(0.6069+17.275 r) e^{-4.989 r}$

$B=\frac{4.5}{\frac{5}{A}\left(0.9849-0.6306 e^{-3.8939 r}\right)-0.1}-5$

最终可以得到以下公式：